ماذا سنتعلّم؟
اشتقاق دالة كثيرة حدودحساب ميل مماسالتمييز بين التكامل والمساحة الهندسية
شرح مبسّط
المشتقة تصف معدّل التغيّر اللحظي. هندسيًا، قيمة المشتقة عند نقطة تساوي ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة. نستخدمها لدراسة التزايد والتناقص والنقاط الحرجة.
التكامل المحدّد يقيس تراكمًا ذا إشارة: ما فوق محور x موجب وما تحته سالب. لحساب المساحة الهندسية نقسّم عند أصفار الدالة ونحسب المساحات الموجبة لكل جزء.
القوانين الأساسية
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), F′(x) = f(x)
∫ x² dx = x³ / 3 + C
مثال محلول خطوة بخطوة
معطى f(x) = x². احسب ميل المماس عند x = 2، ثم المساحة بين المنحنى ومحور x من 0 إلى 3.
- نشتق: f′(x) = 2x.
- نعوّض: f′(2) = 4، وهذا ميل المماس.
- الدالة غير سالبة في المجال، لذلك المساحة تساوي التكامل المحدّد.
- S = [x³ / 3]₀³ = 27 / 3 − 0 = 9 وحدات مساحة.
جرّب بنفسك
معطى f(x) = 3x² − 6x. احسب f′(2)، وقيمة التكامل المحدّد من 0 إلى 2، ثم المساحة الهندسية في هذا المجال.
أخطاء شائعة
- مساواة المشتقة بالدالة الأصلية عند حساب ميل المماس.
- اعتبار كل نقطة مشتقتها صفر نقطة قصوى دون فحص.
- تسمية تكامل سالب مساحة هندسية.
المصطلحات المهمة بالعبرية
- مشتقة
- נגזרת
- مماس
- משיק
- تكامل محدّد
- אינטגרל מסוים
- دالة التراكم
- פונקציית הצטברות